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数学竞赛专题讲座(共33讲)[下学期]
  • 教案大小： 2.50MB
  • 教案语言： 简体中文
  • 教案等级：
  • 编者主页： normalsd
  • 免费下载：
  • 教案类别：授课
  • 授权方式： 别处引用
  • 整理时间： 2006-7-7 10:33:00
  • 教案平台： word
  • 下载次数： 17次
第一讲  整除性理论及其应用
                         
一. 基本概念和性质.
1. 整除:设a,b是两个整数,且b 0,如果存在一个整数q,使等式a=bq成立,那么我们
称a能被b整除或b整除a,记作b︱a,其性质有(设b 0,c=0)
1).若b︱a ,  a  0,则  
2) 若b︱a,  a︱b ,a  0,则a=b或b=a
3) 若c︱b,  b︱a, 则c︱a
4) 若b︱a,  则cb︱ca
5) 若c︱a,  c︱b,则c︱ma+nb,m,n Z
2. 整除的基本定理:对于任意整数a,b(b 0,),存在唯一的一对整数q,r,使得a=qb+r,0   r＜b
其中,q和r分别称为b除a 的商和余数.
3.  最大公约数和最小公倍数: a,b的最小公倍数记为[a,b],a,b的最大公约数记为(a,b) ,其性质有:
    1).设m为正整数,则(am,bm)=m(a,b)  [am,bm]=m[a,b]
2)设a,b是两个正整数,则(a,b)[a,b]=ab
3)设a,b,c是三个正整数,则(ab,bd,ac)[a,b,c]=abc
4)设正整数k是整数a,b的公倍数,则(k/a,k/b)=k/[a,b]
5)设正整数c是a,b的公约数,则(a/c,b/c)=(a,b)/c
6)若(a,b)=1, (ab,c)=(a,c)(b,c)
7)若a1, a2, …an,是n个不全为零的整数,则(a1, a2, …an)=( (a1, a2, …ak), (ak+1, ak+2, …an))
4.  两个定理: 
  1)  欧拉函数: 设整数n 2,n= , ,… ,是n的质因数分解式，以 （n）表示小于n且与n互质的自然数的个数，则 （n）= 
  2)勒让得定理:在乘积n！中，质因数p的指数为p(n!)= 
二. 例题选讲.
1. 设 ,求证： ︱f(n)
2. 设p为奇质数,证明: 的分子a是p的倍数
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